Solution sets and centralizers
We study solution sets of systems of equations over arbitrary finite algebras. The essence of our investigation is characterizing the solution sets with a certain type of closure condition. A well-known theorem in linear algebra states that a set of tuples is a solution set of some system of linear...
Elmentve itt :
| Szerző: | |
|---|---|
| További közreműködők: | |
| Dokumentumtípus: | Disszertáció |
| Kulcsszavak: | algebraic structure, system of equations, solution set, algebraic set, universal algebraic geometry, clone, centralizer, lattice, semilattice, primitive positive formula, quantifier elimination, polymorphism-homogeneity |
| Tárgyszavak: | |
| Online Access: | http://doktori.ek.szte.hu/12327 |
| Tartalmi kivonat: | We study solution sets of systems of equations over arbitrary finite algebras. The essence of our investigation is characterizing the solution sets with a certain type of closure condition. A well-known theorem in linear algebra states that a set of tuples is a solution set of some system of linear equations if and only if it is closed under affine combinations. Following the example of systems of linear equations, for any algebra, we can find a set of operations such that the solution sets are always closed under these operations. If this closure is sufficient as well (that is, every closed set is also a solution set of some system of equations), then we will say that the investigated algebra has property (SDC). This thesis studies algebras with property (SDC) and properties that are equivalent to property (SDC). In the first chapter we introduce the basic definitions. In the second chapter we show that the solution set of a system of equations over any finite algebra is closed under the centralizer of the algebra, and introduce property (SDC). Moreover, we prove that property (SDC) is equivalent to quantifier elimination of certain type of primitive positive formulas. In the third chapter we prove that every two-element algebra has property (SDC). In the fourth chapter we investigate centralizers of finite semilattices, distributive lattices and lattices. In the fifth chapter we give all finite semilattices and lattices having property (SDC). In the sixth chapter we prove that property (SDC) is equivalent to polymorphism-homogeneity, and also to injectivity in a well-chosen class of algebras. Then we describe algebras with property (SDC) in some important classes of algebras. Tetszőleges véges algebra feletti egyenletrendszerek megoldáshalmazait vizsgáljuk. A kutatásunk lényege, hogy leírjuk a megoldáshalmazokat egyfajta zártsági feltétellel. Lineáris algebrában jól ismert tétel, hogy egy vektorhalmaz pontosan akkor megoldáshalmaza valamely lineáris egyenletrendszernek, ha zárt az affin kombinációkra nézve. A lineáris egyenletrendszerek példájára minden algebra esetén található egy olyan függvényhalmaz, melyre a megoldáshalmazok mindig zártak kell legyenek, és amennyiben ez a zártság elégséges feltétel is (tehát minden zárt halmaz megoldáshalmaz is), akkor azt mondjuk, hogy a vizsgált algebra (SDC) tulajdonságú. A disszertáció az (SDC) tulajdonságú algebrákat, és az (SDC) tulajdonsággal ekvivalens tulajdonságokat kutatja. Az első fejezetben az alapdefiníciókat mondjuk ki. A második fejezetben belátjuk, hogy tetszőleges algebra feletti egyenletrendszer megoldáshalmaza mindig zárt az algebra centralizátorára, illetve definiáljuk az (SDC) tulajdonságot. Belátjuk továbbá, hogy az (SDC) tulajdonság ekvivalens bizonyos primitív pozitív formulák kvantoreliminálhatóságával. A harmadik fejezetben bebizonyítjuk, hogy minden kételemű algebra rendelkezik az (SDC) tulajdonsággal. A negyedik fejezetben véges félhálók, disztributív hálók és hálók centralizátorait vizsgáljuk. Az ötödik fejezetben megadjuk az összes (SDC) tulajdonságú véges félhálót és hálót. A hatodik fejezetben bebizonyítjuk, hogy az (SDC) tulajdonság ekvivalens az úgynevezett polimorfizmus-homogenitással, valamint egy megfelelő algebraosztályban vett injektivitással. Ezután néhány fontosabb algebraosztályban adjuk meg az (SDC) tulajdonságú algebrákat. |
|---|